主条目：四维动量
一粒子的四维动量又叫其不变质量。
一粒子的四维动量平方，定义为其能量平方与其三维动量平方间的差（注意从这开始，采用的单位都能满足光速等于1这项条件）：
p
2
=
E
2
−
(
p
→
)
2
=
m
2
(
1
)
{\displaystyle p^{2}=E^{2}-({\vec {p}})^{2}=m^{2}\quad \quad \quad \quad (1)\,}
两粒子的四维动量平方为
p
2
=
(
p
1
+
p
2
)
2
=
p
1
2
+
p
2
2
+
2
p
1
p
2
=
m
1
2
+
m
2
2
+
2
(
E
1
E
2
−
p
→
1
⋅
p
→
2
)
{\displaystyle p^{2}=\left(p_{1}+p_{2}\right)^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}p_{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2(E_{1}E_{2}-{\vec {p}}_{1}\cdot {\vec {p}}_{2})\,}
。
四维动量守恒
编辑
在所有衰变及粒子相互作用中，四维动量都必须守恒，因此始态pi 与终态pf 的关系为
p
i
=
p
f
{\displaystyle p_{\mathrm {i} }=p_{\mathrm {f} }}
。
在二体衰变中
编辑
设母粒子质量为M，衰变成两粒子（标记为1和2），那么四维动量的守恒条件则为
p
M
=
p
1
+
p
2
{\displaystyle p_{M}=p_{1}+p_{2}}
。
整理可得，
p
M
−
p
1
=
p
2
{\displaystyle p_{M}-p_{1}=p_{2}}
然后取左右两边的平方
p
M
2
+
p
1
2
−
2
p
M
p
1
=
p
2
2
{\displaystyle p_{M}^{2}+p_{1}^{2}-2p_{M}p_{1}=p_{2}^{2}}
。
现在要用的正是四维动量的定义——方程(1)，展开各p2 得
M
2
+
m
1
2
−
2
(
E
M
E
1
−
p
→
M
⋅
p
→
1
)
=
m
2
2
.
(
2
)
{\displaystyle M^{2}+m_{1}^{2}-2\left(E_{M}E_{1}-{\vec {p}}_{M}\cdot {\vec {p}}_{1}\right)=m_{2}^{2}.\quad \quad \quad \quad (2)\,}
若进入母粒子的静止系，则
p
→
M
=
0
{\displaystyle {\vec {p}}_{M}=0\,}
，及
E
M
=
M
{\displaystyle E_{M}=M\,}
将上述两式代入方程(2)得：
M
2
+
m
1
2
−
2
M
E
1
=
m
2
2
.
{\displaystyle M^{2}+m_{1}^{2}-2ME_{1}=m_{2}^{2}.\,}
整理后得粒子1于母粒子静止系中的能量公式，
E
1
=
M
2
+
m
1
2
−
m
2
2
2
M
.
(
3
)
{\displaystyle E_{1}={\frac {M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2}}{2M}}.\quad \quad \quad \quad (3)\,}
同样地，粒子2在母粒子在静止系中的能量为
E
2
=
M
2
+
m
2
2
−
m
1
2
2
M
{\displaystyle E_{2}={\frac {M^{2}+m_{2}^{2}-m_{1}^{2}}{2M}}}
。
可得
|
p
→
1
|
=
|
p
→
2
|
=
[
M
2
−
(
m
1
+
m
2
)
2
]
[
M
2
−
(
m
1
−
m
2
)
2
]
2
M
.
{\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|=|{\vec {p}}_{2}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,}
先把
E
1
2
=
m
1
2
+
p
→
1
2
{\displaystyle E_{1}^{2}=m_{1}^{2}+{\vec {p}}_{1}^{2}\,}
代入方程(3)：
p
1
→
2
=
(
M
2
+
m
1
2
−
m
2
2
)
2
−
4
m
1
2
M
2
4
M
2
{\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {(M^{2}+m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}-4m_{1}^{2}M^{2}}{4M^{2}}}\,}
p
1
→
2
=
M
4
+
m
1
4
+
m
2
4
−
2
m
1
2
M
2
−
2
m
2
2
M
2
−
2
m
1
2
m
2
2
4
M
2
{\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}+m_{1}^{4}+m_{2}^{4}-2m_{1}^{2}M^{2}-2m_{2}^{2}M^{2}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}}{4M^{2}}}\,}
p
1
→
2
=
M
4
−
M
2
(
m
1
+
m
2
)
2
−
M
2
(
m
1
−
m
2
)
2
+
(
m
1
2
−
m
2
2
)
2
4
M
2
{\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{4}-M^{2}(m_{1}+m_{2})^{2}-M^{2}(m_{1}-m_{2})^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})^{2}}{4M^{2}}}\,}
p
1
→
2
=
M
2
[
M
2
−
(
m
1
−
m
2
)
2
]
−
(
m
1
+
m
2
)
2
[
M
2
−
(
m
1
−
m
2
)
2
]
4
M
2
{\displaystyle {\vec {p_{1}}}^{2}={\frac {M^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]-(m_{1}+m_{2})^{2}\left[M^{2}-(m_{1}-m_{2})^{2}\right]}{4M^{2}}}\,}
|
p
→
1
|
=
[
M
2
−
(
m
1
+
m
2
)
2
]
[
M
2
−
(
m
1
−
m
2
)
2
]
2
M
.
{\displaystyle |{\vec {p}}_{1}|={\frac {\sqrt {\left[M^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}\right]\left[M^{2}-\left(m_{1}-m_{2}\right)^{2}\right]}}{2M}}.\,}
|
p
→
2
|
{\displaystyle |{\vec {p}}_{2}|\,}
的推导也一样。